동역학 01 Kinematics of Particles

April 16, 2021

1. Position, velocity and acceleration

고등학교 때 배운 내용과 동일하다.

시간 [t] 일 때 어떠한 particle 의 위치를 [P] 라고 하고, 그 때의 coordinate 에서의 값을 [(x)]라 하자. 그러면, [t+\Delta t] 에서의 particle 의 위치를 [P’] 라고 하고 그 때의 값을 [(x+\Delta x)] 라 하자. 그러면, 시간 [\Delta t] 동안의 평균속도average velocity 는 다음과 같다.

\begin{equation*} \text{Average velocity} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \end{equation*}

순간속도Intantaneous velocity 는 평균속도로부터 극한을 통해 정의한다.

\begin{equation*} \text{Instantaneous velocty} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}} \end{equation*}

미분으로 표현하면 아래와 같다.

\begin{equation} v = \frac{dx}{dt} \label{eq:vel00} \end{equation}

위치를 시간에 대해 미분하여 속도를 계산한 것처럼, 속도를 시간에 대해 미분하여 가속도acceleration를 구할 수 있다.

\begin{equation*} \text{Average acceleration} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \end{equation*}

\begin{equation*} \text{Instantaneous acceleration} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta v}{\Delta t}} \end{equation*}

마찬가지로, 미분을 통해 표현하면 다음과 같이 두 가지 방법으로 표현할 수 있다.

\begin{equation} a = \frac{dv}{dt} \label{eq:acc00} \end{equation}

\begin{equation} a = \frac{d^2v}{dt^2} \label{eq:acc01} \end{equation}

Chain rule 을 통해 \eqref{eq:acc00} 을 다시 작성하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} \end{equation*}

여기서 [dx/dt=v] 이므로 다음과 같이 작성할 수 있다.

\begin{equation} a = v\frac{dv}{dx} \label{eq:acc02} \end{equation}

2. Rectilinear motion

앞서 속도와 가속도를 정의할 때 편의상 1 차원 coordinate 를 사용했다. 그러면, 1차원 직선 운동에 대해 \eqref{eq:vel00}, \eqref{eq:acc00}, 그리고 \eqref{eq:acc02} 을 사용하여 위치 [x], 속도 [v] 를 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ v=\frac{dx}{dt} \\ dx = v \ dt \\ \int{dx} = \int{v \ dt}} \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines{ a=\frac{dv}{dt} \\ dv = a \ dt \\ \int{dv} = \int{a \ dt}} \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines{ a = v\frac{dv}{dx} \\ a \ dx = v \ dv \\ \int{a \ dv} = \int{v \ dv}} \end{equation*}

그러면, 등속 운동이고 초기 위치[x_0]가 주어질 경우 particle 의 위치는 시간에 대한 함수로 표현할 수 있다.

\begin{equation} x = x_0 + vt \label{eq:rectilin_constvel_00} \end{equation}

등가속 운동이고 초기 위치[x_0]와 초기 속도[v_0]가 주어질 경우, particle 의 속도와 위치는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} v = v_0 + at \label{eq:rectilin_constacc_00} \end{equation}

\begin{equation} x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \label{eq:rectilin_constacc_01} \end{equation}

\begin{equation} v^2 = v^2_0 + 2a\left(x-x_0\right) \label{eq:rectilin_constacc_02} \end{equation}

3. Motion of several particles

3-1. Relative motion of two Particles

두 개 이상의 particle 이 같은 공간 안에서 움직일 때 어떤 particle의 위치, 속도 그리고 가속도는 다른 particle에 대해 상대적인 위치, 속도 그리고 가속도를 갖는다. 이를 상대위치, 상대속도, 상대가속도라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

\begin{equation*} \displaylines{ x_{B/A} = x_B - x_A \ \ \ \text{ or } \ \ \ x_B = x_A + x_{B/A} \\ v_{B/A} = v_B - v_A \ \ \ \text{ or } \ \ \ v_B = v_A + v_{B/A} \\ a_{B/A} = a_B - a_A \ \ \ \text{ or } \ \ \ a_B = a_A + a_{B/A} } \end{equation*}

3-2. Dependent motions

어떤 particle 의 motion 이 다른 particle 에 의해 constraint 될 경우 해당 particle 의 motion 은 dependent 하다. 예를 들어 아래 그림과 같은 도르래를 생각해보자.

여기서 무게추 또는 도르래가 이동한다 하더라도 전체 실의 길이는 일정하다. 즉, 무게추 A 에서 벽 G 까지의 길이의 합이 일정하므로 이는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

\begin{equation*} x_A + 2x_B = \text{constant} \end{equation*}

여기서 [ x_A ] 와 [ x_B ] 는 벽에 대한 무게추 [A] 와 [B] 의 위치이다. 위 식으로부터 각 무게추의 위치는 서로에게 dependent 함을 알 수 있다. 또한, 속도는 위치를 시간에 대해 미분하여 얻을 수 있고, 가속도 또한 마찬가지이므로 다음과 같이 속도 및 가속도 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ v_A + 2v_B = 0 \\ a_A + 2a_B = 0} \end{equation*}

위 그림의 system 은 두 variables 가 있고 하나의 constraint 식이 있으므로, 1 degree of freedom system 이라 할 수 있다. DoF 에 대해서 다른 예시를 보자.

실의 길이에 따른 constraint 수식은 다음과 같다.

\begin{equation*} 2x_A + 2x_B + x_C = \text{constant} \end{equation*}

위 그림의 system 은 세 variables 가 있고 하나의 constraint 식이 있으므로 2 DoF system 이다. 즉, Fig.2 의 system 은 1 DoF system 이므로 모든 무게추의 위치, 속도, 또는 가속도를 특정하기 위해서는 한 무게추의 위치, 속도 또는 가속도가 필요하다. Fig.3 의 system 은 2 DoF system 이므로 모든 무게추의 위치, 속도, 또는 가속도를 특정하기 위해서는 두 무게추의 위치, 속도 또는 가속도가 필요하다.

4. Curvilinear motion of particles

Rectilinear motion 과 마찬가지로 아래와 같이 순간속도Instantaneous velocty 및 순간가속도Instantaneous acceleration를 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \overrightarrow{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}} \end{equation*}

\begin{equation*} \overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \end{equation*}

\begin{equation*} \overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} \end{equation*}

1차원 rectilinear motion 과는 달리 위치, 속도 및 가속도가 벡터 형태로 표현된다.

5. Rectangular components of velocity and acceleration

Fig.5 Particle in the Cartesian coordinate

앞서 위치, 속도 및 가속도를 벡터 형태로 표현하였다. 그러면 가장 흔히 쓰이고 orthonormal한 coordinate인 Cartesian coordinate 에서 각 basis를 통해 위치, 속도 및 가속도를 표현할 수 있다. 위 fig.5 의 위치, 속도 및 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ \overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \\ \overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k} \\ \overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}} \end{equation*}

각 basis 는 linear independent 하므로 위와 같이 각 basis에 대해 decomposition 하여 개별적으로 계산할 수 있다. 대표적인 쉬운 예로는 projectile 의 motion 이 있다.

6. Tangential and normal components

Fig.7 Tangential and normal decomposition

앞서 벡터를 space의 각 basis로 decomposition 한 것처럼, curvilinear 한 motion에서 vector를 이동 경로에 대해 tangential 한 방향과 normal한 방향으로 decomposition 할 수 있다. 위 fig.6 의 우측 그림에서 볼 수 있듯이 normal한 unit vector는 tangential vector 로 표현할 수 있다.

[ \Delta \hat{e}_t ] 의 방향은 [ \hat{e}’_t - \hat{e}_t] 이다. 여기서 크기는 [\hat{e}’_t, \ \hat{e}_t] 둘 모두 unit vector 이기 때문에 1 이다. [ \Delta \hat{e}_t ] 의 크기는 [2\sin\left( \Delta\theta /2 \right)] 이다.

\begin{equation*} \lim_{\Delta \theta \to 0}{\frac{2\sin\left( \Delta \theta / 2 \right)}{\Delta\theta}}=\lim_{\Delta \theta \to 0}{ \frac{\sin{\Delta\theta / 2}}{\Delta \theta / 2} } = 1 \end{equation*}

위 식에서 크기가 1임을 볼 수 있으므로, normal unit vector [\hat{e}_n] 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

\begin{equation*} \hat{e}_n = \lim_{\Delta \theta \to 0}{\frac{\Delta\hat{e}_t}{\Delta\theta}} \end{equation*}

\begin{equation} \hat{e}_n = \frac{d\hat{e}_t}{d\theta} \label{eq:tannor_vector_00} \end{equation}

앞서 유도한 tangential 방향과 normal 방향을 통해 원형 궤도를 따라 움직이는 particle 의 속도 및 가속도를 생각해보자. Particle 의 속도는 경로의 접선 방향이므로 tangent 성분을 통해 표현할 수 있다.

\begin{equation} \overrightarrow{v} = v\hat{e}_t \label{eq:tannor_vel_00} \end{equation}

가속도는 속도를 시간에 대해 미분하여 계산할 수 있으므로, 식 \eqref{eq:tannor_vel_00} 를 시간에 대해 미분하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d}{dt}v\hat{e}_t = \frac{dv}{dt}\overrightarrow{e}_t + v \frac{d\overrightarrow{e}_t}{dt} \end{equation*}

여기서 [ d\overrightarrow{e}_t / dt ] 를 chain rule 을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \frac{d\overrightarrow{e}_t}{dt} = \frac{ \overrightarrow{e}_t }{d\theta} \frac{d\theta}{ds} \frac{ds}{dt} \end{equation*}

여기서 앞서 유도한 \eqref{eq:tannor_vector_00} 와, [ d\theta ] 와 [ ds ] 는 각각 각도와 호의 관계이므로, [ d\theta / ds = 1/\rho ] 이다. 그러면 위 식은 다음과 같이 정리된다.

\begin{equation} \overrightarrow{a} = \frac{dv}{dt}d\overrightarrow{e}_t + \frac{v^2}{\rho}\overrightarrow{e}_n \end{equation}

여기서 [ \rho ] 는 radius of curvature 이다. 고등학교 과정 땐 등속 원운동만을 다뤘기에 RHS 첫 번째 term 이 없었어서 익숙한 [ v^2/\rho ] 만이 남았었다. 하지만 velocity 가 function of time 일 경우 첫 번째 term 을 고려해야 한다.

7. Radial and transverse components

극좌표polar coordinate 를 생각해보자. 진자와 같은 물체의 운동은 극좌표에서 다루는 것이 훨씬 식이 간단해진다. 앞서 tangential 및 normal vector 를 생각한 것처럼 극좌표에선 radial 및 transverse vector 를 생각할 수 있다.

Fig. 9 처럼, 중심 O 에서 particle P 까지 직선을 그리자. 선 OP 의 방향을 radial 방향, 그에 대해 수직인 방향을 transverse 방향이라 한다. 앞서 normal vector 를 정의한 것과 비슷하게 우측 그림처럼 radial 및 transverse unit vectors 를 정의할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{\frac{d\hat{e}_r}{d\theta} = \hat{e}_e \\ \frac{d\hat{e}_e}{d\theta} = -\hat{e}_r} \end{equation*}

여기서 sign convention 은 radial 방향에 대해선 r 이 커질수록 + 이고, transverse 방향은 right-hand rule 을 따른다. 그러면, 속도와 가속도를 표현하기 위해 각 unit vector 를 시간에 대해 미분해보자.

\begin{equation*} \displaylines{ \frac{d\hat{e}_r}{dt} = \frac{d\hat{e}_r}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \hat{e}_{\theta} \frac{d\theta}{dt} \\ \frac{d\hat{e}_{\theta}}{dt} = \frac{d\hat{e}_{\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = -\hat{e}_r\frac{d\theta}{dt} } \end{equation*}

Chain rule 을 통해 위와 같이 표현할 수 있다. [ d/dt ] 대신 Newton’s notation으로 점을 찍어 표현하면 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ \dot{ \hat{e} }_r = \dot{\theta}\hat{e}_{\theta} \\ \dot{ \hat{e} }_{\theta} = -\dot{\theta}\hat{e}_r } \end{equation*}

Particle의 속도는 위 식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ \overrightarrow{v} = \frac{d}{dt}\left( r\hat{e}_r \right) &=& \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\hat{e}}_r \\ &=& \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_{\theta}} \end{equation*}

마찬가지로, 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ \overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} &=& \ddot{r}\hat{e}_r + \dot{r}\dot{\hat{e}}_r + \dot{r}\dot{\theta}\hat{e}_{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{e}_{\theta} + r\dot{\theta}\dot{\hat{e}}_{\theta} \\ &=& \left( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \right) \hat{e}_r + \left( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \right) \hat{e}_{\theta} } \end{equation*}

참고문헌

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Cornwell, P. J. (2010). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics: McGraw-Hill.

Ingyu Lee