동역학 02 Kinetics of Particles: Newton’s Second Law

April 24, 2021

1. Newton’s Second Law of Motion

뉴턴 제2 법칙은 다음과 같이 정의된다: Particle에 작용하는 최종 힘이 0 이 아니면, 그 particle 은 그 최종 힘의 크기에 비례하는 가속도를 가진다.

원문: If the resultant force acting on a particle is not zero, the particle will have an acceleration proportional to the magnitude of the resultant force.

여기서 최종 힘resultant force는 고등학교, 학부 1학년 때의 알짜힘net force와 동일한 개념으로 보인다. 위 statement는 아래 식과 같다.

\begin{equation} \frac{F_1}{a_1}=\frac{F_2}{a_2}=\frac{F_3}{a_3}=\cdots=\text{constant} \label{eq:fma00} \end{equation}

여기서 이 constant를 그 particle의 질량mass 라고 하면 다음과 같은 익숙한 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation} \sum{\boldsymbol{F}} = m\boldsymbol{a} \label{eq:fma01} \end{equation}

물리적 의미를 되짚어보면, 식 \eqref{eq:fma01}로부터는 질량 m을 가진 particle이 가속도 a로 운동하고 있을 때 이 particle 에 작용하는 net force는 F라고 생각할 수 있다. 식 \eqref{eq:fma00}로부터는 힘 F를 질량 m을 가진 particle에 작용했을 때 가속도가 a가 나온다는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 가속도 a로 운동하게 만들기 위해 힘 F만큼 줄 때 가속을 방해하는 요소 m이 있다고 생각할 수 있다.

위 식 \eqref{eq:fma01}의 가속도 [ \boldsymbol{a} ] 를 [ d\boldsymbol{v}/dt ] 로 바꾸면,

\begin{equation*} \displaylines{ \sum{\boldsymbol{F}} &=& m\frac{dv}{dt} \\ &=& \frac{d}{dt}\left( m\boldsymbol{v} \right) &=& \frac{d}{dt}\boldsymbol{L} } \end{equation*}

여기서 벡터 [ \boldsymbol{L} = m\boldsymbol{v} ] 를 선운동량linear momentum이라 한다. 즉, 알짜힘은 선운동량을 시간에 대해 미분한 결과이다.

2. Equations of Motion

앞서 particle의 가속도는 알짜힘에 의해 결정되는 것을 확인했다. 그러면 앞서 chapter 1 에서 확인한 것처럼 이를 rectangular components 와 tangential, normal components로 분해하여 벡터의 합으로 나타낼 수 있다.

Fig.1 Rectangular decomposition and tangential and normal decomposition of a vector

\begin{equation*} \sum{ \left( F_x \boldsymbol{i} + F_y \boldsymbol{j} + F_z \boldsymbol{k} \right) } = m \left( a_x \boldsymbol{i} + a_y \boldsymbol{j} + a_z \boldsymbol{k} \right) \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines{\sum{F_t} = m\frac{dv}{dt} \ \ \ \sum{F_n} = m\frac{v^2}{\rho} } \end{equation*}

3. Dynamic Equilibrium

식 \eqref{eq:fma01} 의 우항을 옮기면 다음과 같다.

\begin{equation*} \sum{\boldsymbol{F}} - m \boldsymbol{a} = 0 \end{equation*}

즉, particle에 작용하는 힘과 벡터 [ -m\boldsymbol{a} ]를 더하면 equilibrium 상태가 되는데, 여기서 벡터 [ -m\boldsymbol{a} ]를 inertia vector라 하고, 이 inertia vector와 모든 힘을 합쳐서 dynamic equilibrium상태에 있다고 한다.

이 inertia vector는 관성에 대한 개념으로, 그 particle이 움직이게 만들거나 또는 지금 motion을 바꾸고 싶을 때 필요로 하는 저항에 대한 개념이다. 이 때문에 inertia vector는 관성력inertia force으로도 불린다. 단, 정역학statics에서 다루는 contact force 또는 gravitational force와는 다른 개념이다.

예제 01

두 나무 블록의 초기 상태는 정지해있다. 바닥과 도르래의 마찰을 무시하고, 줄과 도르래의 질량은 무시하자. 각 줄의 tension과 각 블록의 가속도를 계산하라.

여기서 전체 줄의 길이는 제한되어 있으므로 위 그림에 따라 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines{l_1 + 2l_2 &=& \text{const.} \\ \Rightarrow |a_1| + 2|a_2| &=& 0 \\ \Rightarrow |a_1| &=& 2|a_2|} \label{eq:sample00} \end{equation}

2줄에서 3줄로 넘어갈 때 - 가 붙지 않는 것은 가속도의 크기만을 고려하기 때문이다.

Free body diagram을 그려보자.

여기서 도르래 D에서 줄이 끊어지지 않으므로 [ |\boldsymbol{F}_1| = |\boldsymbol{F}_2| ] 라고 할 수 있다. 그러면, 위 식 \eqref{eq:sample00}로부터 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines{ |\boldsymbol{a}_1| &=& 2|\boldsymbol{a}_2| \\ \Rightarrow \frac{|\boldsymbol{F}_1|}{m_A} &=& 2\frac{m_B g - 2|\boldsymbol{F}_2|}{m_B} \\ \Rightarrow \frac{|\boldsymbol{F}_1| \ \text{[N]}}{100 \ \text{[kg]}} &=& 2\frac{9.81 \cdot 300 - 2|\boldsymbol{F}_1| \ \text{[N]}}{300 \ \text{[kg]}} \\ \Rightarrow \frac{7}{3} |\boldsymbol{F}_1| &=& 9.81 \cdot 200 \ \text{[N]} \\ \therefore |\boldsymbol{F}_1| &=& 840.86 \ \text{[N]} } \end{equation*}

그러면, D에서의 tension은 840.86 N, C에서는 1681.72 N 이다. 식 \eqref{eq:sample00}로부터 블록 A의 가속도는 8.4086 [m/s²], 그리고 블록 B의 가속도는 16.8172 [m/s²] 임을 알 수 있다.

4. Angular Momentum of a Particle

위 그림과 같이 뉴토니안 프레임 [Oxyz] 안에서 운동하는 질량 m의 particle P를 생각해보자. 앞서 선운동량 [ m\boldsymbol{v} ] 를 정의한 것처럼, 원점 [O] 에 대한 각운동량angular momentum은 아래와 같이 정의된다.

\begin{equation*} \boldsymbol{H}_O = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v} \end{equation*}

외적cross product이기 때문에 [ \boldsymbol{r} ] 및 [ \boldsymbol{v} ]에 대해 수직하며, 그 방향은 right hand coordinate 또는 left hand coordinate에 따라 결정된다. 외적의 크기는 사인 함수로 표현될 수 있으므로, 속도 성분 [ \boldsymbol{v} ] 을 [ \boldsymbol{r} ] 과 수직한 성분을 생각할 수 있다. Fig.6 의 [ \boldsymbol{v} ] 과 [ \boldsymbol{r} ] 사이의 각도 [ \phi ] 를 통해 표현하면 아래와 같다.

\begin{equation*} |H_O| = rmv \sin{\phi} \end{equation*}

Fig.7 Radial and transverse decomposition of the velocity

위 Fig.7 처럼 radial 및 transverse 성분으로 분해하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} |H_O| = rmv \sin{\phi} = rmv_\theta = mr^2\dot{\theta} \end{equation*}

앞서 선운동량의 시간에 대한 미분이 알짜힘과 동일한 것을 확인했던 것처럼 각운동량을 시간에 대해 미분하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines{\frac{d\boldsymbol{H}_O}{dt} &=& \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \times m\boldsymbol{v} + \boldsymbol{r} \times m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} \\ &=& \boldsymbol{v} \times m\boldsymbol{v} + \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{a} \\ &=& \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \\ &=& \sum{\boldsymbol{M}_O} } \end{equation*}

즉, 선운동량의 시간에 대한 미분은 알짜힘과 동일하고, 각운동량의 시간에 대한 미분은 알짜 돌림힘과 동일하다는 것을 확인할 수 있다.

5. Equations of Motion in Terms of Radial and Transverse components

극좌표에 대한 eqn. of motion 에 앞서 1 단원에서 다루었던 radial 및 transverse 성분을 이용할 수 있다.

\begin{equation*} \sum{F_r} = ma_r \ \ \ \ \ \sum{F_\theta} = ma_\theta \end{equation*}

여기에 1 단원에서의 가속도 식을 대입하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { \sum{F_r} = m\left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) \\ \sum{F_\theta} = m \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) } \end{equation*}

6. Motion Under a Central Force. Conservation of Angular momentum

Fig.8 Particle moving under a central force

임의의 particle P 가 고정된 점 [ O ] 방향으로 힘 [ \boldsymbol{F} ] 를 받으면서 운동하고 있을 때, 이 점 [ O ] 를 center of force 라 하고 이 운동을 moving under a central force 라고 한다. 여기서 [ \boldsymbol{F} ] 가 점 [ O ] 를 향하므로 이에 대한 돌림힘은 0이다 [ \sum{\boldsymbol{M}_O} = 0 ] . 앞서 각운동량의 시간에 대한 미분이 알짜 돌림힘인 것을 확인했으므로 아래와 같은 식을 작성할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { \boldsymbol{\dot{ H }}_O &=& 0 \\ \boldsymbol{H}_O &=& \text{constant} \\ \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v} &=& \text{constant} } \end{equation*}

즉, 위치벡터 [ \boldsymbol{r} ] 은 각운동량 [ \boldsymbol{H}_O ] 는 서로 수직하며, 마찬가지로 속도 [\boldsymbol{v}] 또한 수직하므로 [\boldsymbol{H}_O] 에 수직한 평면에 대해 운동한다고 볼 수 있다.

Fig.9 Particle moving under a central force

여기서 각운동량의 크기가 일정하므로 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation*} | \boldsymbol{H}_O | = rmv\sin{\phi} = r_0 m v_0 \sin{\phi_0} \end{equation*}

여기서 [ r_0 ], [ v_0 ], [ \phi _0 ] 는 각각 위치, 속도 및 각도의 초기값이다.

[ v \sin{\phi} = r\dot{\theta} ] 이므로 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { mr^2\dot{\theta} = H_O = \text{constant} \\ r^2 \dot{\theta} = h } \end{equation*}

여기서 [ h = | H_O | / m ] 으로, 단위 질량당 각운동량angular momentum per unit mass이다.

예제 02

바닥에서horizontal plane 마찰이 없고, 일정한 각속도 [ \dot{\theta}_0 ] 로 회전하는 봉 [OA]에 질량 [m] 의 나무 블록 [B]가 있다. [B]가 [O]에 대해서 [\boldsymbol{r}] 방향으로 [r_0] 일 때 정지 상태에서 벗어났다. (a) [v_r], (b) 봉 [OA]가 블록 B에 가하는 힘 [\boldsymbol{F}] 를 [r]에 대한 함수로 표현하시오.

봉 [OA]는 일정한 속도로 움직이고, 블록 [B]는 봉 [OA] 선상에서만 움직이므로 봉 [OA]가 블록 [B]에 가하는 힘은 [\theta]방향만이 있다. 즉, [ F_r = 0 ], 그리고 [ F_\theta = \boldsymbol{F} ] 이다.

\begin{equation*} \displaylines { F_r = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 &=& 0 \\ \Rightarrow \ddot{r} &=& r \dot{\theta}^2 } \end{equation*}

여기서 [ v_r = \dot{r} ] 이므로,

\begin{equation*} \displaylines { \ddot{r} \ &=& \ \frac{ d\dot{r} } {dt} \\ &=& \frac{dv_r}{dr} \frac{dr}{dt} \\ &=& v_r \frac{dv_r}{dr} } \end{equation*}

위 식에 대입하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { v_r \frac{dv_r}{dr} &=& r \dot{\theta}^2 \\ \Rightarrow \int{v_r} \ dv_r &=& \int{ r \dot{\theta_0}^2 } \ dr \\ = v_r &=& \dot{\theta_0} \left( r^2 - r_0^2 \right)^{\frac{1}{2}} } \end{equation*}

위 결과를 [ F_\theta ] 식에 대입하면 아래와 같다. 봉 [ OA ] 는 등속회전중이므로 [ \ddot{\theta}=0 ] 이므로,

\begin{equation*} \displaylines { F_\theta &=& r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} = \boldsymbol{F} \\ \Rightarrow \boldsymbol{F} &=& 2 \dot{r} \dot{\theta_0} \\ \boldsymbol{F} &=& 2 \dot{\theta_0}^2 \left( r^2 - r_0^2 \right)^{\frac{1}{2}} } \end{equation*}

참고문헌

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Cornwell, P. J. (2010). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics: McGraw-Hill.

Ingyu Lee