동역학 03 Kinetics of Particles: Energy and Momentum Methods

May 11, 2021

이번 단원에선 method of work and energy, 그리고 method of impulse and momentum에 관해 알아본다.

1. Work of a Force

먼저 변위displacement와 일work를 정의한다. 위 fig.1 와 같이 한 particle이 위치 [A] 에서 [A’] 으로 이동했다고 하자. 원점 [O]에서 [A]의 위치벡터를 [\boldsymbol{r}] 이라 하면 [A’]의 위치벡터는 [\boldsymbol{r}+d\boldsymbol{r}] 이라고 할 수 있다. 여기서 위치벡터의 차 [d\boldsymbol{r}]을 particle의 변위라 정의한다.

Particle에 힘 [\boldsymbol{F}]가 작용하고 있다고 가정해보자. 그러면 변위 [d\boldsymbol{r}] 동안 힘 [\boldsymbol{F}]가 particle에 한 일은 아래와 같이 정의할 수 있다.

\begin{equation} dU = \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} \label{eq:work00} \end{equation}

즉, 힘 벡터와 변위 벡터의 내적으로 정의된다. 내적으로 정의되므로 일은 스칼라 값이다. 그리고 일은 힘의 크기와 변위의 크기를 통해 아래와 같이 유도할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines{dU = |\boldsymbol{F}| \ \ |d\boldsymbol{r}| \ \cos{\alpha}} \label{eq:work01} \end{equation}

Particle이 위치 [A_1]에서 [A_2]로 이동했을 때 힘 [\boldsymbol{F}]이 경로동안 한 일은 앞서 식 \eqref{eq:work00}을 위치 [A_1]에서 [A_2]에 대해 적분하면 된다.

\begin{equation} U_{1 \rightarrow 2} = \int_{A_1}^{A_2}{\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}} \label{eq:work02} \end{equation}

식 \eqref{eq:work01}로 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} &=& \int_{A_1}^{A_2}{|\boldsymbol{F}| \cos{\alpha} \ \ d |\boldsymbol{r}|} \\ &=& \int_{A_1}^{A_2}{ F_t \ \ ds} } \end{equation*}

여기서 [F_t]는 힘 [\boldsymbol{F}]의 tangential 성분, 그리고 [ds]는 이동거리, 즉 변위의 스칼라 성분이다.

또한, 앞 단원에서 벡터 성분을 rectangular성분으로 분해한 것처럼 일 또한 rectangular성분으로 분해된 힘으로 계산할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { dU = F_x \ \ dx + F_y \ \ dy + F_z \ \ dz } \label{eq:work03} \end{equation}

\begin{equation} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} = \int_{A_1}^{A_2}{\left( F_x \ dx + F_y \ dy + F_z \ dz \right)} \label{eq:work04} } \end{equation}

몇몇 대표적인 경우를 알아보자.

1-1. Work of a Constant Force in Rectilinear motion

힘이 일정할 경우 직선 운동에선 이동 경로와 힘의 각도가 일정하므로 일을 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} = \int_{A_1}^{A_2}{|\boldsymbol{F}| \cos{\alpha} \ \ \Delta x} } \end{equation*}

1-2. Work of the Force of Gravity

중력이 지표면의 물체에 가하는 힘은 물체의 중량weight이고, 위 fig.4 처럼 [\boldsymbol{W}]로 주로 표기한다. 식 \eqref{eq:work03} 및 식 \eqref{eq:work04}에 대입하면 중력이 지표면의 물체에 가하는 일은 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { dU &=& -W \ dy \\ U_{1 \rightarrow 2} &=& - \int_{y_1}^{y_2}{W \ dy} = Wy_1 - Wy_2 \\ &=& -W \left( y_2 - y_1 \right) = -W \ \Delta y } \end{equation*}

1-3. Work of the Force Exerted by a Spring

고등학교 때 배운 것처럼 이상적인 스프링이 가하는 힘은 스프링이 변형된 변위의 반대 방향으로 작용하며, 그 크기는 변위의 크기와 스프링계수의 곱과 같다.

\begin{equation*} \boldsymbol{F} = k\boldsymbol{x} \end{equation*}

\begin{equation*} F = kx \end{equation*}

이를 식 \eqref{eq:work02}에 대입하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { dU &=& -F \ dx = -kx \ dx \\ U_{1 \rightarrow 2} &=& -\int_{x_1}^{x_2}{kx \ dx} = \tfrac{1}{2}kx_1^2 - \tfrac{1}{2}kx_2^2 } \label{eq:springWork} \end{equation}

1-4. Work of a Gravitational Force

중력의 크기는 두 물체간 질량의 곱에 비례하고, 거리의 제곱에 반비례하며 그 방향은 서로 끌어당기는 방향으로 작용한다. 위 그림 fig.6 에서 질량 [m]의 물질이 질량 [M]의 물질에 의해 받는 중력의 크기는 아래와 같다.

\begin{equation*} F = G\frac{Mm}{r^2} \end{equation*}

여기서 [G]는 중력상수, [M]과 [m]은 두 물체의 질량, [r]은 두 물체간 거리이다. 그러면 위 fig.6 에서 볼 수 있듯이 벡터 [\overrightarrow{OA}]를 [\boldsymbol{r}]이라 하면 위 식의 벡터 표현은 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { \boldsymbol{F} &=& -G\frac{Mm}{r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \\ &=& -G\frac{Mm\boldsymbol{r}}{r^3} } \end{equation*}

이 식을 식 \eqref{eq:work03} 및 식 \eqref{eq:work04}에 대입하면 중력이 가하는 일을 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { dU &=& -F \ dr = -G\frac{Mm}{r^2}dr \\ U_{1 \rightarrow 2} &=& -\int_{r_1}^{r_2}{ \frac{GMm}{r^2} \ dr } = \frac{GMm}{r_2} - \frac{GMm}{r_1} } \label{eq:work05} \end{equation}

이로부터 중력에 의한 위치 에너지를 계산할 수 있고 중력과 식이 유사한 다른 힘에 의한 에너지 또한 같은 형식을 띈다. 예를 들어 정전기장에 있는 전하가 받는 힘이 있다.

\begin{equation*} \boldsymbol{F}_{12} = \boldsymbol{a}_{R_{12}}k_e\frac{q_1q_2}{R^2_{12}} \end{equation*}

쿨롱의 법칙Coulomb’s Law이다. 멈춰 있는 두 전하 [q_1, q_2 ] 가 있을 때 전하 [q_1] 이 [q_2] 에게 작용하는 힘은 [ \boldsymbol{F_{12}} ] 이고, 여기서 [ R_{12} ] 는 전하 간 거리, [\boldsymbol{a}_{R_{12}}] 는 전하 간 unit vector, [k_e]는 쿨롱 상수이다. 여기서 단위 전하당 받는 힘 [\boldsymbol{F}/q]를 전기장 [\boldsymbol{E}]라 정의하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation*} \boldsymbol{F}_{12} = \boldsymbol{a}_R\frac{q}{4\pi\epsilon_0R^2} \end{equation*}

이로부터 계산되는 전위electric potential는 다음과 같다.

\begin{equation} \displaylines { V &=& - \int_{\infty}^{R}{ \left( \boldsymbol{a}_R\frac{q}{4\pi\epsilon_0R^2} \right) \cdot \left( \boldsymbol{a}_R dR \right)} \\ &=& \frac{q}{4\pi\epsilon_0R} } \label{eq:work06} \end{equation}

위 식 \eqref{eq:work06} 과 식 \eqref{eq:work05} 를 비교하면 유사한 형태를 띔을 볼 수 있다.

2. Kinetic Energy of a Particle. Principle of Work and Energy

Fig.7 Relation between tangential force, its work on the particle, and the energy of the particle

위 그림 fig.7 에서 질량 [m] 의 particle 이 힘 [ \boldsymbol{F} ]를 받으면서 위치 [A_1]에서 [A_2]까지 운동한다고 하자. 여기서 각 [A_1] 과 [A_2]에서의 이동거리(scalar)를 [s_1, \ s_2], 속력을 [v_1, \ v_2] 라고 하자. [ \boldsymbol{F} ]는 tangential 및 normal 방향으로 분해될 수 있고, 이는 아래와 같이 표현될 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { F_t &=& ma_t \\ &=& m\frac{dv}{dt} \\ &=& m\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt} \\ &=& mv\frac{dv}{ds} \\ \Rightarrow F_t \ ds &=& mv \ dv \\ \Rightarrow \int_{s_1}^{s_2}{F_t \ ds} &=& \int_{v_1}^{v_2}{mv \ dv} \\ \int_{s_1}^{s_2}{F_t \ ds} &=& \tfrac{1}{2}mv_2^2 - \tfrac{1}{2}mv_1^2 } \end{equation*}

즉, 위치 [A_1, \ A_2 ] 동안 힘 [\boldsymbol{F}]가 particle에 한 일 [U_{1 \rightarrow 2}]은 각 위치 [A_1, \ A_2 ] 에서의 state [ \tfrac{1}{2}mv^2 ]의 차이라고 할 수 있다. 여기서 우리는 particle의 운동 에너지kinetic energy를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\begin{equation} T = \tfrac{1}{2}mv^2 \label{eq:kE00} \end{equation}

즉, 위 식을 [T]를 통해 다시 정리하면 아래와 같다.

\begin{equation} U_{1 \rightarrow 2} = T_2 - T_1 \label{eq:kE01} \end{equation}

3. Power and Efficiency

일률Power는 단위 시간당 일Work의 비율이다. 즉, 아래와 같이 시간에 대한 미분 형태로 표현할 수 있다.

\begin{equation} \text{Power} = \frac{dU}{dt} \end{equation}

일은 힘과 이동거리로 표현할 수 있으므로 아래와 같이 다시 작성할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { \text{Power} &=& \frac{dU}{dt} = \frac{\boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}}{dt} \\ &=& \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} } \end{equation}

단위는 와트Watt [ \text{[W]} ] 이다.

기계 효율mechanical efficiency은 아래와 같이 정의된다.

\begin{equation} \displaylines { \eta &=& \frac{\text{output work}}{\text{input work}} \\ &=& \frac{\text{power output}}{\text{power input}} } \end{equation}

예제 01

두 나무 블록 A, B는 정지해있고 서로 길이가 일정한 케이블로 연결되어 있다. 도르래의 질량과 마찰이 없고, 블록 A와 바닥면의 마찰계수는 [ \mu_k = 0.25 ] 일 때, 블록 A가 2 m 이동한 후의 속도를 구하시오.

두 블록이 케이블로 연결되어 있으므로 이동거리, 속력과 가속력은 동일하다. 힘은 블록 B에 의한 중력과 블록 A에 의한 마찰력 둘 뿐이고, 각 힘과 이동 경로는 서로 같은 직선상에 있으므로 식 \eqref{eq:work02} 를 통해 다음과 같이 두 힘이 두 블록 시스템에 한 일의 크기를 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} &=& \int_{1}^{2}{F_g \cdot dr} + \int_{1}^{2}{F_\mu \cdot dr} \\ &=& m_B g \cdot s - \mu m_A g \cdot s \\ &=& \left( 300 \text{[kg]} - 0.25 \cdot 200 \text{[kg]} \right) \cdot 9.8 \text{[m/s^2]} \cdot 2 \text{[m]} \\ &=& 4905 \ \text{[J]} } \end{equation*}

초기 조건이 정지 상태였으므로 아래와 같이 운동에너지를 통해 속도를 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { T_2 - T_1 &=& U_{1 \rightarrow 2} \\ \tfrac{1}{2} \ 500 \ \text{[kg]} \ v^2 &=& 4905 \ \text{[J]} } \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines { \Rightarrow \ \ v &=& \sqrt{ 2 \cdot \tfrac{1}{500 \text{[kg]} } 4905 \ \text{[J]} } \\ &=& 4.43 \ \text{[m/s]} } \end{equation*}

예제 02

스프링 상수는 [ k = 20 \ \text{kN/m} ] 이고, 스프링에 케이블이 연결되어있어 이미 120 mm 만큼 수축되어 있는 상태이다. 블록은 60 kg 및 초기 속도 2.5 m/s 이고, 스프링의 최대 변형이 40 mm 만큼 이루어졌을 때 다음을 구하시오.

(a) 블록과 바닥 간 마찰계수

(b) 블록이 초기 위치를 다시 지나갈 때의 속도

스프링의 최대 변형이 40 mm 까지 이루어졌으므로 초기 운동에너지가 마찰에 의해 사라진 에너지와 스프링의 힘에 의한 에너지 두 개의 합의 형태로 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { T_i = E_\mu + V_s \\ \tfrac{1}{2}mv_i^2 = \mu \cdot m g \cdot s + \int_{120}^{160}{kx \ dx} \\ \tfrac{1}{2}60 \ \text{[kg]} \ \cdot \left( 2.5 \ \text{[m/s]} \ \right)^2 = \mu \cdot 60 \ \text{[kg]} \ \cdot 9.8 \ \text{[m/s^2]} \ \cdot 0.640 \ \text{[m]} \\ + 20\text{e+3} \cdot \tfrac{1}{2}x^2 \vert_{0.120}^{0.160} \ \text{[J]} } \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines { \Rightarrow \ \ \mu &=& \frac{187.5 - 112 \ \text{[J]} }{376.32 \ \text{[J]} } \\ &=& 0.20 } \end{equation*}

마찰계수는 [\mu = 0.20] 이다.

스프링이 압축되었다가 이완되면서 같은 크기의 힘에 의해 같은 거리만큼 반대 방향으로 작용하므로 블록이 스프링 구간을 왕복하면서 스프링이 블록에 가하는 알짜힘은 0 임을 알 수 있다. 그러면 블록이 초기 위치로 돌아온 후의 운동 에너지는 초기 운동 에너지에서 마찰에 의한 에너지 손실만을 제외한 값임을 알 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { T_f = T_i - E_\mu \\ \tfrac{1}{2}mv_f^2 = \tfrac{1}{2}mv_i^2 - \mu \cdot m g \cdot s \\ \tfrac{1}{2} 60 \ \text{[kg]} \ \cdot \left( v_f \ \text{[m/s]} \ \right)^2 = \tfrac{1}{2} 60 \ \text{[kg]} \ \cdot \left( 2.5 \ \text{[m/s]} \ \right)^2 \\ - 0.2 \cdot 60 \ \text{[kg]} \ \cdot 9.8 \ \text{[m/s^2]} \ \cdot 1.280 \ \text{[m]} } \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines { \Rightarrow v_f &=& \sqrt{ \left( 187.5 - 150.528 \right) \ 30 } \\ &=& 1.1101 \ \text{[m/s]} } \end{equation*}

왕복 후 원위치에서의 속도는 1.1101 [\text{[m/s]}] 이다.

4. Potential Energy

무게 [ \boldsymbol{W} ] 의 물체가 아래 그림 4. 의 높이 [ y_1 ]의 점 [ A_1 ] 에서 높이 [y_2]의 점 [A_2]로 이동했다고 하자. 그러면, 앞서 1-2 에서 확인한, 중력이 한 일은 아래와 같다.

\begin{equation*} U_{1 \rightarrow 2} = Wy_1 - Wy_2 \end{equation*}

중력이 한 일은 첫 위치와 마지막 위치의 [Wy]의 값의 차이와 같다. 즉, 중력이 한 일은 경로와는 관계없이 첫 위치의 값과 마지막 위치의 값의 차이로 계산할 수 있는데, 이를 위치 에너지potential energy라 하고, [ V_g ] 라고 표현한다.

\begin{equation*} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} = \left( V_g \right)_1 - \left( V_g \right)_2 \\ \text{with} \ \ V_g = Wy } \end{equation*}

만약 물체가 지표면에서 멀어져서 더이상 물체의 무게 [ \boldsymbol{W} ] 가 위치에 대해 일정하지 않을 때, 즉 앞서 1-4 에서 확인한 식 \eqref{eq:work05}를 통해 표현하면 아래와 같다.

\begin{equation*} V_g = -\frac{GMm}{r} \end{equation*}

스프링에 의한 일에 대해서도 식 \eqref{eq:springWork}을 사용하여 표현할 수 있고, 이는 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { U_{1 \rightarrow 2} = \left( V_e \right)_1 - \left( V_e \right)_2 \\ \text{with} \ \ V_e = \tfrac{1}{2}kx^2 } \end{equation*}

5. Conservative Forces

앞서 위치 에너지에서 다룬 것과 같이, Fig.10 (a) 처럼 [ U_{1 \rightarrow 2} ]가 경로에 대해 독립적인 힘을 보존력Conservative force라고 한다.

\begin{equation} U_{1 \rightarrow 2} = V_1 - V_2 \label{eq:pE00} \end{equation}

위 식을 아래와 같이 미분 형태로 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { dU = -dV\left( x, \ y, \ z \right) \\ F_x \ dx + F_y \ dy + F_z \ dz = - \left( \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + \frac{\partial V}{\partial z}dz \right) } \end{equation*}

즉, 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { F_x = -\frac{\partial V}{\partial x} \\ F_y = -\frac{\partial V}{\partial y} \\ F_z = -\frac{\partial V}{\partial z} \\ \\ \Rightarrow F = -\nabla V } \end{equation*}

만약 fig.10 (b)처럼 초기 위치와 마지막 위치가 동일할 경우 폐곡선closed loop이라 하고, 그 경우 보존력은 다음 식을 만족한다.

\begin{equation*} \oint{\boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}} = 0 \end{equation*}

6. Conservation of Energy

앞서 식 \eqref{eq:kE01}, 식 \eqref{eq:pE00}를 합치면 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation*} V_1 - V_2 = T_2 - T_1 \end{equation*}

\begin{equation} T_1 + V_1 = T_2 + V_2 \label{eq:conservE} \end{equation}

즉, 보존력만 작용하는 field에서 위치 1과 2에서 운동에너지와 위치에너지의 합은 일정하다. 여기서 운동에너지와 위치에너지의 합은 역학적 에너지total mechanical energy라고 하고, 이를 역학적 에너지 보존 법칙conservation of energy이라고 한다.

예제 03

0.6 kg 의 물체가 [ k = 100 \text{ N/m} ]의 탄성이 있는 줄에 매달려 있다. 이 줄의 초기 길이는 물체가 원점 [ O ] 에 있을 때의 길이이다. 물체가 마찰 없이 수평한 평면에서 [ v_A = 20 \text{ m/s} ] 로 운동할 때,

(a) 원점 [ O ]에서 최대/최소 거리를 구하여라.

(b) 그 때의 속력을 구하여라.

여기서 줄에 의한 힘은 원점 [O]를 향해 central force로 작용하고 있기 때문에 각운동량 [\boldsymbol{H}_O]는 보존된다.

각운동량과 역학적 에너지가 보존되므로 원점 [O] 에서 가장 먼/가까운 거리에선 [ \sin{\phi} = 1 ] 이다. 그러면 거리가 가장 가까울 때 아래와 같은 식을 성립한다.

\begin{equation} \displaylines { mv_A r_A \sin{\phi_A} = mv_m r_m \sin{\phi_A} \\ 0.6 \cdot 20 \cdot 0.5 \sin{60^\circ} = 0.6 \cdot v_m r_m \\ \Rightarrow v_m r_m = 5\sqrt{3} } \label{eq:ex0300} \end{equation}

\begin{equation} \displaylines { \tfrac{1}{2}mv_A^2 + \tfrac{1}{2}kr_A^2 = \tfrac{1}{2}mv_m^2 + \tfrac{1}{2}kr_m^2 \\ \tfrac{1}{2} \cdot 0.6 \cdot 20^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0.5^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0.6 \cdot v_m^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot r_m^2 } \label{eq:ex0301} \end{equation}

식 \eqref{eq:ex0300} 을 통해 \eqref{eq:ex0301}의 [ v_m ] 텀을 소거하면 최대/최소 거리를 구할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { \tfrac{1}{2}\cdot 0.6 \cdot v_m^2 + \tfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot r_m^2 \\ \tfrac{1}{2}\cdot 0.6 \cdot \frac{75}{r_m^2} + \tfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot r_m^2 \\ \Rightarrow 20 r_m^4 - 53 r_m^2 + 9 = 0 \\ \Rightarrow r_m = 0.427 , \ 1.571 \ \text{[m]} } \end{equation*}

위 최대/최소 거리를 식 \eqref{eq:ex0300}에 대입하면 그 때의 속도를 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { v_m r_m = 5\sqrt{3} \\ \Rightarrow v_m = \frac{5\sqrt{3}}{r_m} \\ = 5.51, \ 20.3 \ \text{[m/s]} } \end{equation*}

7. Principle of Impulse and Momentum

Fig.12 Relation between linear momentum and impulse

이번엔 물체의 운동에 있어 힘, 질량, 속도, 시간에 대한 관계를 알아보기로 한다. 앞서 2단원에서 lin. momentum의 시간에 대한 미분이 힘인 것을 확인하였다.

\begin{equation} \boldsymbol{F} = \frac{d}{dt}\left( m\boldsymbol{v} \right) \end{equation}

[dt] 를 넘긴 후 적분하면,

\begin{equation*} \displaylines { \boldsymbol{F} \ dt = d \left( m\boldsymbol{v} \right) \\ \int_{t_1}^{t_2}{\boldsymbol{F} \ dt} = m\boldsymbol{v}_2 - m\boldsymbol{v}_1 } \end{equation*}

\begin{equation} m\boldsymbol{v}_1 + \int_{t_1}^{t_2}{\boldsymbol{F} \ dt} = m\boldsymbol{v}_2 \label{eq:linImpulse00} \end{equation}

\eqref{eq:linImpulse00}식의 적분 텀을 충격량linear impulse, impulse라고 한다. Rectangular components로 분해하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} \boldsymbol{\text{Imp}}_{1\rightarrow 2} = \boldsymbol{i}\int_{t_1}^{t_2}{F_xdt} + \boldsymbol{j}\int_{t_1}^{t_2}{F_ydt} + \boldsymbol{k}\int_{t_1}^{t_2}{F_zdt} \end{equation}

즉, 위 \eqref{eq:linImpulse00} 식을 다시 작성하면 아래와 같다.

\begin{equation} m\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{\text{Imp}}_{1 \rightarrow 2} = m\boldsymbol{v}_2 \end{equation}

충격량은 힘을 시간에 대해 적분한 것이므로 그 단위는 [\text{N} \cdot \text{s} = \text{kg} \cdot \text{m/s}] 이다.

Fig.13 Sum of linear momentum in a system without external force

만약 2개 이상의 particle 이 있다면 모든 particle에 작용하는 힘과 lin. momentum의 합을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{equation} \Sigma m\boldsymbol{v}_1 + \Sigma \boldsymbol{\text{Imp}}_{1 \rightarrow 2} = \Sigma m\boldsymbol{v}_2 \label{eq:linImpulse01} \end{equation}

만약 2개 이상의 particle 이 있고, 외부 힘이 작용하지 않는 시스템이라면 뉴턴 제 3법칙에 의해 각각의 particle에 대해 작용하는 힘의 크기는 동일하고 방향은 반대이므로 그 시스템의 모든 힘의 합은 0 이 된다. 그러면 \eqref{eq:linImpulse01}에서 아래와 같은 식으로 쓸 수 있다.

\begin{equation} \Sigma m\boldsymbol{v}_1 = \Sigma m\boldsymbol{v}_2 \label{eq:linImpulse02} \end{equation}

즉, the total momentum of the particles는 보존된다.

8. Impulse motion

야구공을 배트로 치는 것처럼 매우 짧은 시간에 큰 힘을 통해 운동량이 크게 변하는 현상을 impulsive motion이라 한다. 이 경우 \eqref{eq:linImpulse01} 식을 통해 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { m\boldsymbol{v}_1 + \Sigma \boldsymbol{F} \ \Delta t = m \boldsymbol{v}_2 } \end{equation}

예제 04

위 그림과 같이 10 kg 의 패키지가 25 kg 의 카트에 3 m/s 의 속도로 떨어진다. 카트의 초기 속도는 0이고 마찰 없이 움직일 때,

(a) 카트의 최종 속도 (b) 카트가 패키지에 가한 impulse (c) 충돌 이후 사라진 에너지

를 구하시오.

외부 힘이 없는 시스템이므로 충돌 전과 충돌 후의 운동량의 합은 동일하다. 운동 방향은 우측 방향으로 동일하므로 rectangular decomposition 후 우측 방향의 운동량만 생각하면 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { m_p v_1 \cos{30^\circ} = m_p v_2 + m_c v_2 \\ 10 \cdot 3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \left( 10 + 25 \right) \cdot v_2 \\ v_2 = \frac{10 \cdot 3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{35} \\ v_2 = 0.742 \ \text{m/s} } \end{equation}

카트가 패키지에 가한 impulse는 패키지의 운동량의 변화를 계산하면 된다.

\begin{equation} \displaylines { \boldsymbol{\text{Imp}}_{1 \rightarrow 2} = m_p \boldsymbol{v}_2 - m_p \boldsymbol{v}_1 \\ = 10 \left[ 0.742 \ \boldsymbol{i} - \left( 3 \cos{30 ^\circ} \ \boldsymbol{i} - 3 \sin{30 ^\circ} \ \boldsymbol{j} \right) \right] \\ = - 18.56 \ \boldsymbol{i} + 15 \ \boldsymbol{j} } \end{equation}

충돌 이전과 이후의 운동 에너지의 차이는 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { T_1 - T_2 = \tfrac{1}{2}m_pv_1^2 - \left( \tfrac{1}{2}m_pv_2^2 + \tfrac{1}{2}m_cv_2^2 \right) \\ = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 3^2 - \tfrac{1}{2} \left( 10 + 25 \right) \cdot 0.742^2 \\ = 35.3651 \ \text{J} } \end{equation}

9. Impact

당구공이 부딪히는 것처럼 두 물체가 짧은 시간동안 서로에게 큰 힘을 가하는 것을 impact라고 한다. 이는 두 경우로 구분되는데, 접촉면에 대해 수직한 방향을 line of impact라고 하고, 이 선상에 두 물체의 무게중심이 모두 있다면 이를 central impact, 그리고 그 외의 경우 eccentric impact라고 한다. 그리고 두 물체의 속도가 line of impact 선상에 있으면 이를 direct impact, 그 외의 경우 oblique impact 라고 한다.

9-1. Direct Central Impact

위 fig.15 처럼 각 물체가 line of impact상으로 부딪히고, 그 속도 또한 그 선상에 있을 경우 1차원 운동으로 생각할 수 있다. 앞서 \eqref{eq:linImpulse02} 식에서 시스템에 외부 힘이 없을 경우 운동량의 총량이 보존됨을 확인했으므로 아래처럼 작성할 수 있다.

\begin{equation} m_Av_A + m_Bv_B = m_Av’_A + m_B v’_B \label{eq:dci00} \end{equation}

그러면 [ \displaylines{v’_A, \ v’_B} ] 두 개의 미지수를 어떻게 확인할까?

부딪히는 물체는 서로 접촉하는 과정에서 위 fig.16과 같은 두 번의 변형 과정을 거친다. 즉, 위 deformation, 그리고 restitution 과정에서 두 물체 [ \displaylines{A, \ B} ] 는 같은 속도 u를 가지면서 서로에게 [\displaylines{ \boldsymbol{P}, \ \boldsymbol{R} } ]의 힘을 가한다. 위 그림의 충격량과 운동량 식은 아래와 같이 작성할 수 있다.

\begin{equation} \displaylines { m_Av_A - \int{P \ dt} = m_Au \\ m_Au - \int{R \ dt} = m_Av’_A } \label{eq:restitution00} \end{equation}

일반적으로 period of restitution에서 가해지는 충격량 [ \displaylines{\int{R \ dt}} ] 은 [ \displaylines{\int{P \ dt}} ] 보다 작다. 여기서 각 deformation과 restitution에서의 충격량의 비를 반발계수coefficient of restitution라 하고 [e] 라 표기한다.

\begin{equation} \displaylines { e = \frac{\int{R \ dt}}{\int{P \ dt}} } \label{eq:restitution01} \end{equation}

[e]의 크기는 0과 1 사이의 값을 가지며, 식 \eqref{eq:restitution00}을 \eqref{eq:restitution01}에 대입하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { e = \frac{\int{R \ dt}}{\int{P \ dt}} \\ = \frac{m_Au - m_Av’_A} {m_Av_A - m_Au} \\ = \frac{u - v’_A}{v_A - u} } \end{equation*}

\begin{equation} \displaylines { e = \frac{u - v’_A}{v_A - u} } \label{eq:restitution02} \end{equation}

이는 물체 B에도 똑같이 적용된다. 단, A와는 방향이 반대이므로 -1 을 곱하므로 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { e = \frac{v’_B - u}{u - v_B} } \label{eq:restitution03} \end{equation}

식 \eqref{eq:restitution02} 과 \eqref{eq:restitution03} 이 [e]가 동일하므로 각 분모/분자를 더해도 그 비는 동일하다. 즉, 아래와 같이 작성할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { e = \frac{ \left( u - v’_A \right) + \left( v’_B - u \right) } { \left( v_A - u \right) + \left( v_A + u \right) } \\ = \frac{v’_B - v’_A}{v_A - v_B} } \end{equation*}

\begin{equation} v’_B - v’_A = e \left( v_A - v_B \right) \label{eq:restitution04} \end{equation}

즉, 반발계수는 충돌 후와 전의 상대속도의 비라고 할 수 있다. 반발계수가 주어지면 식 \eqref{eq:dci00}에서의 미지수 개수의 문제가 해결된다. 여기서 특기할 만한 경우가 두 가지 있다.

9-1-1 Perfectly Plastic Impact

[e = 0] 인 경우를 완전 비탄성 충돌Perfectly Plastic Impact이라 한다. 이 경우 충돌 이후의 상대속도가 0이므로 [ v’_A = v’_B ] 이다. 그러면 식 \eqref{eq:dci00}은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

\begin{equation} m_Av_A + m_Bv_B = \left( m_A + m_B \right) v’ \label{eq:ppi00} \end{equation}

9-1-2 Perfectly Elastic Impact

[e = 1] 인 경우를 완전 탄성 충돌Perfectly Elastic Impact이라 한다. 이 경우 상대속도의 비가 1이므로 식 \eqref{eq:restitution04}은 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

\begin{equation} v’_B - v’_A = v_A - v_B \label{eq:pei00} \end{equation}

즉, 충돌 전후의 상대속도는 동일하다. 또한 완전 탄성 충돌은 운동 에너지를 보존한다. 식 \eqref{eq:dci00}과 식 \eqref{eq:pei00}을 변형하면 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { m_A \left( v_A - v’_A \right) = m_B \left( v_B - v’_B \right) \\ v_A + v’_A = v_B + v’_B } \end{equation}

양변이 동일하므로 각 양변을 곱하여도 등호는 성립한다.

\begin{equation*} \displaylines { m_A \left( v_A - v’_A \right) \left( v_A + v’_A \right) = m_B \left( v’_B - v_B \right) \left( v’_B + v_B \right) \\ = m_A v_A^2 - m_A v’^2_A = m_B v’^2_B - m_B v_B^2 } \end{equation*}

\begin{equation} \Rightarrow \tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_B^2 = \tfrac{1}{2}m_A v’^2_A + \tfrac{1}{2}m_B v’^2_B \end{equation}

위와 같이 운동에너지가 보존됨을 확인할 수 있다.

9-2. Oblique Central Impact

Oblique한 충돌에서는 두 물체의 충돌 전 속도의 방향이 line of impact와 동일하지 않으므로 1차원 대신 2차원으로 생각해야 한다. 즉, 두 물체의 충돌 후 속도 성분을 구하기 위해선 4 개의 수식이 필요하다.

위 그림처럼 line of impact와 같은 방향의 축을 n 축, 그리고 그와 수직한 축을 t축이라고 하자. 각 물체가 마찰 없이 매끈하다고 가정하면 위 그림과 같이 충돌 중엔 n축으로만 힘이 가해진다. 그러면 아래와 같은 특성을 가진다.

각 물체의 t축 모멘텀은 보존된다. 즉, 각 물체의 t 방향 속도 성분은 유지된다. \begin{equation} \left( v_A \right)_t = \left( v’_A \right)_t \end{equation}
n축 방향의 시스템의 모멘텀은 식 \eqref{eq:dci00} 과 같이 보존된다. \begin{equation} m_A \left( v_A \right)_n + m_B \left( v_B \right)_n = m_A \left( v’_A \right)_n + m_B \left( v’_B \right)_n \end{equation}
식 \eqref{eq:restitution04}과 같이 충돌 후 n축 방향의 상대속도는 충돌 전 상대속도에 탄성계수를 곱한 값과 같다. \begin{equation} \left( v’_B \right)_n - \left( v’_A \right)_n = e \left[ \left( v_A \right)_n - \left( v_B \right)_n \right] \end{equation}

위 특성들로부터 총 4 개의 수식을 확인할 수 있다. 즉, 이로부터 충돌 후 각 물체의 속도 성분을 확인할 수 있다.

방금 전까진 충돌 전 후에 대해 두 물체가 자유롭게 움직일 수 있는 경우를 살펴보았다. 이번엔 물체의 운동이 제한되는 경우에 대하여 알아보자.

위 그림과 같이 충돌 후 블록 A는 바닥에 대해 수평한 방향으로 제한되는 운동을 하는 경우를 알아보자. 이 경우 충돌 이후의 미지수는 총 세 개이다. 하나는 블록 A의 바닥에 대해 평행한 방향의 속도, 그리고 물체 B의 2차원 속도 성분 두 개이다.

그러면 앞서 확인했던 두 물체의 충돌면에 대해 수직한 방향, 즉 n축 방향의 힘 외에도 바닥면이 물체 A에 대해 수직한 방향으로 주는 힘이 추가된다. 그러면 아래와 같은 특성을 가진다.

물체 B, 즉 제한되지 않는 물체의 t축 방향의 모멘텀은 보존된다. 즉, 물체 B의 t축 방향의 속도는 보존된다. \begin{equation} \left( v_B \right)_t = \left( v’_B \right)_t \label{eq:oci00} \end{equation}
바닥면과 수평한 방향, 즉 운동이 제한되는 물체의 제한되는 방향과 평행한 축에 대한 시스템의 모멘텀은 보존된다. \begin{equation} m_A v_A + m_B \left( v_B \right)_x = m_A v’_A + m_B \left( v’_B \right)_x \label{eq:oci01} \end{equation}
충돌 후 n축 방향의 상대속도는 충돌 전 상대속도에 탄성계수를 곱한 값과 같다. \begin{equation} \left( v’_B \right)_n - \left( v’_A \right)_n = e \left[ \left( v_A \right)_n - \left( v_B \right)_n \right] \label{eq:oci02} \end{equation}

위 식 \eqref{eq:oci02}의 경우 위의 식 \eqref{eq:restitution04}와 동일한데, 물체 A는 바닥면으로부터 외부 힘을 받음에도 해당 식이 성립하는가?

앞서 period of deformation과 restitution에서 각각 힘 [\displaylines{ \boldsymbol{P}, \ \boldsymbol{R} }]에 의한 충격량을 고려한 것처럼 물체 A에 대해서도 계산해보자. 위 fig.21 은 바닥에서의 외부 힘이 작용하는 물체 A의 deformation 과정이다. 앞서 9-1에서 했던 것과 같이 바닥면과 평행한 방향에 대해 계산하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { m_A v_A - \left( \int{P \ dt} \right) \cos{\theta} = m_A u \\ m_A u - \left( \int{R \ dt} \right) \cos{\theta} = m_A v’_A } \end{equation*}

반발계수는 [ {\int{R \ dt}}/{\int{P \ dt}} ] 로 정의했으므로 위 식을 대입하면 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { \frac{u - v’_A}{v_A - u} } \end{equation}

분모 분자에 [ \cos{\theta} ]를 곱하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \frac{u\cos{\theta} - v’_A\cos{\theta}}{v_A\cos{\theta} - u\cos{\theta}} \end{equation*}

\begin{equation} \frac{u_n - \left(v’_A\right)_n}{\left(v_A\right)_n - u_n} \end{equation}

이로부터 위 식 \eqref{eq:oci02}이 성립한다는 것을 알 수 있다.

예제 05

공이 마찰 없는 수직 벽을 향해 운동한다. Fig.22 와 같이 충돌 직전에 [30^\circ] 각도를 이루면서 속도는 v 이고, 반발계수 [ e = 0.90 ] 이다.

이 경우 벽에서 공이 튕겨져 나갔을 때의 속도의 크기와 각도를 구하시오.

공과 벽면의 충돌면, 벽과 평행한 방향을 t 라고 하고, 수직한 방향을 n이라고 하자. 그러면 t 방향 모멘텀과 속도는 유지되고, 벽은 고정되어 있으므로 충돌 후 n 방향 속력은 충돌 전 n 방향 속력에 반발계수를 곱한 것과 같다. 즉, 수식으로 표현하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { v_n &=& v \cos{30^\circ} = 0.866 v \\ \Rightarrow v’_n &=& -0.09 \cdot 0.866 v = -0.779v } \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines { v_t &=& v \sin{30^\circ} = 0.500 v \\ \Rightarrow v’_t &=& 0.500 v } \end{equation*}

튕긴 후의 속도의 크기와 방향은 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { |v’| &=& \sqrt{0.779^2 + 0.500^2} \ v &=& = 0.926 v } \end{equation*}

\begin{equation*} \displaylines { \tan{\frac{0.500 \ v}{0.779 \ v}} = 32.7^\circ } \end{equation*}

예제 06

30 kg 블록이 2 m 높이에서 10 kg 스프링 판에 떨어진다. 스프링의 스프링 계수는 [ \displaylines{k = 20 \ \text{kN/m}} ] 이고, 충돌이 완전 비탄성 충돌일 때 스프링의 최대 변형 길이를 계산하시오.

시점을 세 개로 나눌 수 있다. 하나는 블록이 스프링 판에 부딫히기 직전, 부딫힌 직후, 그리고 그 후 스프링이 최대로 압축된 시점이다.

부딫히기 직전 블록의 속도를 중력에 의한 일을 통해 계산하고, 부딫힌 직후 블록과 스프링 판이 합쳐졌을 때의 속도를 계산하고, 그 후 운동 에너지, 스프링에 의한 위치 에너지와 중력에 의한 위치 에너지를 계산하여 최대 수축 길이를 계산할 수 있다.

먼저 부딫히기 직전의 속도는 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { v_A = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 2} \\ = 6.26 \ \text{[m/s]} } \end{equation*}

완전 비탄성 충돌을 통해 한 덩어리가 된 후의 속도는 식 \eqref{eq:ppi00}을 통해 아래와 같이 계산할 수 있다.

\begin{equation*} \displaylines { v’ &=& \frac{30 \cdot 6.26}{30 + 10} \\ &=& 4.70 \ \text{[m/s]} } \end{equation*}

여기서 이미 10 kg 스프링 판에 의해 스프링이 한 일이 있으므로, 이로 인한 변형을 계산하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { m_B g = kx_{pre} \\ x_{pre} = \frac{m_B g}{k} = \frac{10 \cdot 9.81}{20 \cdot 10^3} \\ = 0.004905 \ \text{[m]} } \end{equation*}

이후 스프링이 수축하면서 운동 에너지와 중력이 한 일이 스프링이 한 일로 저장된다. 이를 식으로 계산하면 아래와 같다.

\begin{equation*} \displaylines { T + V_g = V_s \\ \tfrac{1}{2}m_{A_B}v^2 + m_{A_B}g \left( x - 0.004905 \right)_M = \tfrac{1}{2}kx^2_M \\ \tfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 4.70^2 + 40 \cdot 9.81 \cdot x_M = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10^3 \cdot x^2_M \\ \Rightarrow x_M = 0.230 \ \text{[m]} } \end{equation*}

그러면, 스프링의 길이 변화는 스프링 변형 전으로부터 230 mm, 그리고 스프링 판에 의한 기본 변형이 4.905 mm 있었으므로 [ \displaylines{230 - 4.905 = 225.1 \ \text{[mm]}} ] 이다.

예제 07

공 B가 케이블 BC로 천장에 매달려 있다. B와 동일한 공 A가 케이블 BC와 옆면이 닿는 상태로 떨어지고, 부딫히기 직전 속도가 [ v_0 ]이다. 완전 탄성 충돌과 마찰력이 없다고 가정하면, 충돌 직후 속도를 구하시오.

앞서 확인한 세 식, \eqref{eq:oci00}, \eqref{eq:oci01}, \eqref{eq:oci02}을 확인해보자.

\begin{equation} \displaylines { \left( v_A \right)_t = \left( v’_A \right)_t \\ \left( v’_A \right)_t = v_0 \sin{30^\circ} \label{eq:prob00} } \end{equation}

\begin{equation} \displaylines { \left( v_A \right)_x + \left( v_B \right)_x = \left( v’_A \right)_x + \left( v’_B \right)_x \\ 0 = v’_B + \left( v’_A \right)_t \cdot \cos{30^\circ} + \left( v’_A \right)_n \cdot \sin{30^\circ} \label{eq:prob01} } \end{equation}

\begin{equation} \displaylines { \left( v_A \right)_n - \left( v_B \right)_n = -e \left[ \left( v’_A \right)_n - \left( v’_B \right)_n \right] \\ - v_0 \cos{30^\circ} = v’_B \sin{30^\circ} - \left( v’_A \right)_n \\ - 0.866 v_0 = \tfrac{1}{2}v’_B - \left( v’_A \right)_n \label{eq:prob02} } \end{equation}

식 \eqref{eq:prob00} 과 식 \eqref{eq:prob01} 을 연립하면 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { v’_B + \tfrac{1}{2}\left( v’_A \right)_n + 0.433v_0 = 0 \label{eq:prob03} } \end{equation}

식 \eqref{eq:prob02} 과 식 \eqref{eq:prob03} 을 연립하면 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { v’_B = -0.693 v_0 \\ \left( v’_A \right)_n = 0.520 v_0 } \end{equation}

[ \left( v’_A \right)_t = \tfrac{1}{2}v_0 ] 이므로 [v’_A]의 크기는 [v’_A = \sqrt{\tfrac{1}{2}^2 + 0.520^2}v_0 = 0.721v_0 ] 이고, 그 각도는 [ \arctan{0.520v_0/0.5v_0} - 30^\circ ] 이므로 충돌 직후 속도는 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { v’_B = -0.693 v_0 \\ v’_A = 0.721v_0 \ \measuredangle 16.12^\circ } \end{equation}

참고문헌

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Cornwell, P. J. (2010). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics: McGraw-Hill.

Cheng, D. K. (2013). Field and Wave Electromagnetics: Pearson Education Limited.

Ingyu Lee