동역학 04 Systems of Particles

1. Application of Newton’s Laws to the Motion of a System of Particles: Effective Forces

Fig.1 System of particles

n 개의 particles가 있는 시스템의 운동 방정식을 생각하자. 이를 계산하려면 각 particle의 운동 방정식을 먼저 생각해보자. 각 particle [P_i]의 질량은 [m_i], 좌표축 [Oxyz]를 기준으로 한 가속도를 [\boldsymbol{a}_i]이라 하자.

위 fig.1 처럼 한 particle [P_i]가 다른 particle [P_j]에 가하는 힘 internal force라 하고 [\boldsymbol{f}_{ij}]라고 표기하자. 그러면, 다른 모든 particle이 [P_i]에 가하는 힘의 합은 [ \sum{ \boldsymbol{f}_{ij} }^n_{j=1} ]이라고 할 수 있다. 그러면, 외부 힘External force를 [\boldsymbol{F}_i]이라 하면 각 [P_i]의 운동 방정식은 아래와 같다.

\begin{equation} \boldsymbol{F}_i + \sum^n_{j=1}{\boldsymbol{f}_{ij}} = m_i\boldsymbol{a}_i \label{eq:sysEq00} \end{equation}

[P_i]의 위치벡터를 [\boldsymbol{r}_i]라고 하면 모멘트는 아래와 같다.

\begin{equation} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i + \sum_{j=1}^n{ \left( \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij} \right) } = \boldsymbol{r}_i \times m_i\boldsymbol{a}_i \label{eq:sysEq01} \end{equation}

여기서 \eqref{eq:sysEq00}와 \eqref{eq:sysEq01}는 각 [i^{th}] particle 에 적용되므로 각각 i개의 수식이 있고, 벡터 [m_i \boldsymbol{a}_i]를 각 particle의 effective forces라고 한다. 즉, 아래 그림처럼, 외부 힘 [\boldsymbol{F}_i]와 내부 힘 [\boldsymbol{f}_{ij}]를 받는 각 particle은 effective force [m_i\boldsymbol{a}_i]와 동등하다equivalent고 할 수 있다.

Fig.2 Equivalent system of particles

여기서 내부 힘 [ \boldsymbol{f}_{ij} ] 와 [ \boldsymbol{f}_{ji} ] 는 뉴턴 제 3법칙으로 힘의 크기가 같고 그 방향은 반대이므로 [ \boldsymbol{f}_{ij} + \boldsymbol{f}_{ji} = 0 ]이다. 그리고 원점 [O]에 대한 각운동량의 합은 아래와 같다.

\begin{equation*} \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij} + \boldsymbol{r}_j \times \boldsymbol{f}_{ji} = \boldsymbol{r}_i \times \left( \boldsymbol{f}_{ij} + \boldsymbol{f}_{ji} \right) + \left( \boldsymbol{r}_j - \boldsymbol{r}_i \right) \times \boldsymbol{f}_{ji} = 0 \end{equation*}

즉, 원점 [O]에 대한 각운동량의 합 또한 0이 됨을 확인할 수 있다. 위 관계를 정리하면 아래와 같다.

\begin{equation} \displaylines { \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\boldsymbol{f}_{ij}}} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{\left( \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{f}_{ij} \right)}} = 0 } \label{eq:sysEq02} \end{equation}

다시 식 \eqref{eq:sysEq00}로 돌아와서, 모든 particle n개에 대해 각 수식을 더하자. 그러면 식 \eqref{eq:sysEq02}의 좌측 수식에 따라 아래와 같이 정리할 수 있다.

\begin{equation} \sum_{i=1}^{n}{\boldsymbol{F}_i} = \sum_{i=1}^{n}{ m_i \boldsymbol{a}_i} \label{eq:sysEq03} \end{equation}

마찬가지로, 식 \eqref{eq:sysEq01} 또한 system 내의 모든 particles에 대해 더하면 아래와 같다.

\begin{equation} \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_i \right) } = \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{a}_i \right) } \label{eq:sysEq04} \end{equation}

위 식 \eqref{eq:sysEq03} 과 \eqref{eq:sysEq04} 로부터 각 particle의 effective force [m_i \boldsymbol{a}_i]와 외부 힘 [\boldsymbol{F}_i]는 동일함을 확인할 수 있다. 즉, 아래 그림과 같이 시스템의 각 particle에 작용하는 외부 힘과, 시스템의 각 particle에 작용하는 effective force는 equipollent함을 알 수 있다.

Fig.3 Equivalent system of particles

단, 위 식 \eqref{eq:sysEq02}에서 내부 힘 [\boldsymbol{f}_{ij}]의 총합이 0이 된다 하더라도 내부 힘이 각 particle에서 아무런 영향이 없는 것은 아니다. 예를 들어 태양계에서 태양이 각 행성에 가하는 힘을 생각해보자. 태양의 중력은 태양계 전체 system의 운동에는 영향을 미치지 않지만, 각 행성의 운동에 영향을 미친다.

2. Linear and Angular Momentum of a System of Particles

앞서 식 \eqref{eq:sysEq03}와 \eqref{eq:sysEq04}처럼 effective force를 통해 system의 linear momentum, angular momentum eqn. 을 표현할 수 있었다. 하지만 이를 보다 간단한 형태로 표현해보자. 여러 particles 가 있는 system의 lin. momentum을 [ \boldsymbol{L} ] 이라 하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} \boldsymbol{L} = \sum_{i=1}^{n}{m_i \boldsymbol{v}_i} \label{eq:sysLinMom00} \end{equation}

마찬가지로, 원점 [O]에 대한 ang. momentum을 [ \boldsymbol{H}_O ]이라 하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} \boldsymbol{H}_O = \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i \right) } \label{eq:sysAngMom00} \end{equation}

식 \eqref{eq:sysLinMom00}과 \eqref{eq:sysAngMom00}을 시간에 대해 미분하면 아래와 같다.

\begin{equation} \dot{\boldsymbol{L}} = \sum_{i=1}^{n}{m_i \dot{\boldsymbol{v}}_i} = \sum_{i=1}^{n}{m_i \boldsymbol{a}_i} \label{eq:sysLinMom01} \end{equation}

\begin{equation} \displaylines { \dot{\boldsymbol{H}}_O = \sum_{i=1}^{n}{ \left( \dot{\boldsymbol{r}}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i \right) } + \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times m_i \dot{\boldsymbol{v}}_i \right) } \\ = \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{v}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i \right) } + \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{a}_i \right) } \\ = \sum_{i=1}^{n}{ \left( \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{a}_i \right) } } \label{eq:sysAngMom01} \end{equation}

여기서 [i]를 생략하면 아래와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

\begin{equation} \Sigma\boldsymbol{F} = \dot{\boldsymbol{L}} \label{eq:sysLinMom02} \end{equation}

\begin{equation} \Sigma\boldsymbol{M}_O = \dot{\boldsymbol{H}}_O \label{eq:sysAngMom02} \end{equation}

3. Motion of the Mass Center of a System of Particles

앞서 system의 particles에 관해 뉴턴 제2 법칙, 운동량 그리고 각운동량에 관해 다루었다. 이번에는 system의 mass center의 eqn. of motion에 대해 다뤄보자. System의 mass center의 위치 벡터를 [\overline{\boldsymbol{r}}]이라 하고, 전체 시스템의 질량 합 [\sum_{i=1}^{n}{m_i}]를 [m]이라 하자. 그러면 mass center는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{equation} m\overline{\boldsymbol{r}} = \sum_{i=1}^{n}{m_i\boldsymbol{r}_i} \end{equation}

시간에 대해 양변을 미분하면 아래와 같다.

\begin{equation} m\dot{\overline{\boldsymbol{r}}} = \sum_{i=1}^{n}{m_i\boldsymbol{v}_i} \end{equation}

[\overline{\boldsymbol{v}}]는 [\overline{\boldsymbol{r}}]을 시간에 대해 미분한 값이므로 system의 mass center의 속도 벡터이다. 우항은 위 식 \eqref{eq:sysLinMom00}에서 system particles의 lin. momentum으로 정의되었으므로 아래와 같이 다시 작성할 수 있다.

\begin{equation} \boldsymbol{L} = m\dot{\overline{\boldsymbol{r}}} \end{equation}

시간에 대해 양변을 미분하면,

\begin{equation} \dot{\boldsymbol{L}} = m\dot{\overline{\boldsymbol{a}}} \end{equation}

좌변에 식 \eqref{eq:sysLinMom02}을 대입하면 아래와 같이 작성할 수 있다.

\begin{equation} \sum{\boldsymbol{F}} = m\overline{\boldsymbol{a}} \end{equation}

위 식의 물리적 의미를 생각해보면, system의 모든 external forces에 의한 motion은 system mass의 총합과 mass center의 위치 벡터로 표현된 eqn. of motion으로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다.

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참고문헌

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Cornwell, P. J. (2010). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics: McGraw-Hill.